а) Из условия задачи следует, что площадь треугольника BMС равна S = 120/3 = 40. Так как BM = MC, то треугольник BMС является равнобедренным. Пусть BM = MC = x. Тогда площадь треугольника BMС выражается через x как S = (x * x) / 2 = 40. Отсюда получаем уравнение x² = 80, откуда x = √80 = 4√5. Обозначим BN через y. Так как площадь треугольника AMN равна 36, то по формуле для площади треугольника через стороны и полупериметр имеем S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где a, b, c – стороны треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то a = c и S = √p(p-a)². Условие для площади треугольника AMN принимает вид 36 = √p(p-4√5)². Возводим все это в квадрат и получаем 1296 = p(p-4√5)², откуда p(p-4√5) = 36. Вспоминая формулу для площади треугольника, выражаем p через BN: p = (BM+BN+MN)/2 = (4√5 + y + MN)/2. Подставляем это в уравнение и получаем (4√5 + y + MN)(4√5 – y + MN) = 36. Так как BN:y = 6:4 = 3:2, то мы знаем, что BN = (3/5)MN и ND = (2/5)MN. Подставляем это в уравнение и получаем (4√5 + 3/5MN + MN)(4√5 – 3/5MN + MN) = 36. Раскрываем скобки и после преобразований получаем 51MN² + 32√5*MN + 40 = 0. Отсюда получаем, что MN = -8√5/3 или -10/3√5. Мы отбрасываем отрицательное значение, так как MN – это длина отрезка. Так как р = 2, то мы получаем MN = -10/3√5 = 2. Значит BN/ND = BN/(BN+MN) = (3/5)/(3/5 + 2/5) = (3/5)/(1) = 3/5 = 4/6. Таким образом, мы доказали, что BN:ND = 4:6.
б) Расстояние между плоскостями ABС и AMN равно расстоянию от вершины В до плоскости AMN, которое в задаче обозначено как p, то есть p = 2. А также дано, что BD перпендикулярно (ABC). То есть линия ВD является перпендикуляром к плоскости ABC. Зная длину BD = 10 и расстояние между плоскостями p = 2, мы можем применить формулу для нахождения угла между двумя плоскостями, которая выражается через длину отрезка между плоскостями и длину перпендикуляра от произвольной точки на одной плоскости до другой плоскости. Формула имеет вид: cos(угол) = p / √(p² + BD²). Подставляем значения и получаем cos(угол) = 2 / √(2² + 10²) = 2 / √104 = 1 / √26. Находим угол, используя обратную функцию косинуса: угол = arccos(1 / √26). Таким образом, мы нашли угол между плоскостью AMN и плоскостью ABC.