Около треугольника ABC описана окружность с центром O. Вторая окружность, проходящая через точки A, B, O, касается прямой AC в точке A. Докажите, что AB = AC.

Пусть P – точка касания второй окружности с прямой AC, а Q – точка пересечения прямой CO с окружностью O.
Поскольку окружность O описана около треугольника ABC, то имеем AC = OC.
Также, поскольку AQ – радиус окружности O, имеем также AQ = OQ.
Теперь обратимся к теореме о тангенциальных отрезках: тангенциальные отрезки из внешней точки к окружности равны.
Применим это к точке A и окружности O. Тогда AB = AP.
Теперь рассмотрим то, что известно о треугольнике AQO: он равнобедренный (так как AQ = OQ) и у него PO спускается на его медиану (по средней линии). Тогда у него также PO симметрично AO относительно медианы (AO), а значит, они равны.
Заметим, что AC и AQ – это касательные линии и соответственно, они равны. Тогда по свойству равных тангенциальных линий имеем AB = AP = AC.

Таким образом, мы доказали, что AB равно AC, что и требовалось доказать.