Пусть в треугольнике ABC сторона AC является гипотенузой, а AB и BC являются катетами. Обозначим точки D и E – середины сторон AB и BC соответственно. Обозначим центр окружности как O, а точку касания окружности с гипотенузой как F. Длину отрезка х обозначим как HF.
Так как окружность касается большего катета, то точка F является серединой гипотенузы AC (так как окружность, касающаяся стороны треугольника в середине, образует радиус, перпендикулярный к этой стороне). Также, так как окружность проходит через середины сторон AB и BC, то точки D, O и E лежат на одной прямой.
Из симметрии можно заметить, что треугольники AFD и CFE равны (треугольники с одинаковым катетами), поэтому AD = CE и AF = CF. Также, треугольники AFO и CDO равны (треугольники с общим катетом и равными углами), поэтому AO = CO и OF = OD.
Таким образом, мы получаем, что треугольник AOC является равнобедренным с основанием AC и высотой, которая проходит через точку O. Поскольку F является серединой гипотенузы AC, то HF является половиной высоты треугольника AOC. Из равнобедренности треугольника AOC следует, что HF равно половине основания AC.
Таким образом, длина отрезка х – это половина длины гипотенузы AC. Если обозначить длину гипотенузы как c, то длина отрезка х будет равна c/2.
Итак, длина отрезка х, который окружность высекает на гипотенузе треугольника, равна половине длины гипотенузы.