Пусть O – центр окружности, а A и B – точки касания окружности с катетами треугольника. Обозначим точку касания окружности с гипотенузой как C.
Поскольку окружность делит гипотенузу на три равные части, то AC = BC = x, а CB = AB = 1 – x.
Так как окружность касается катетов, AO и BO – радиусы окружности, они равны 1.
Рассмотрим треугольник AOC. Он прямоугольный, так как его основание AO – радиус окружности, и его высота OC – отрезок, опущенный из точки C на гипотенузу. Поэтому площадь треугольника AOC равна половине произведения его катетов: S₁ = (1/2) * x * 1 = x/2.
Аналогично, треугольник BOC также прямоугольный, и его площадь равна S₂ = (1/2) * x * 1 = x/2.
Треугольник ABC является искомым треугольником. Его площадь равна сумме площадей треугольников AOC и BOC: S = S₁ + S₂ = x/2 + x/2 = x.
Таким образом, площадь треугольника ABC равна x.
Для нахождения площади треугольника нам нужно найти значение x. Заметим, что треугольники AOC и BOC подобны треугольнику ABC, так как у них одинаковые углы. Поэтому x равно отношению длины отрезка AC к длине отрезка AB:
x = AC / AB = AC / (AC + CB) = AC / (AC + AC) = 1 / (1 + 1) = 1 / 2.
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 1/2.