Докажем эту теорему пошагово:
1. Пусть O будет центром окружности, которую мы будем обозначать как окружность (O). Аналогично, пусть O₁ и O₂ будут центрами окружностей (M) и (N) соответственно.
2. Проведем радиусы соединяющие центры окружностей и пересекающиеся в точке K. Таким образом, K – это пересечение отрезка MO₁ и NO₂.
3. По построению, треугольники MO₁K и NO₂K равнобедренные треугольники, так как соответствующие радиусы окружностей равны (MO₁ = NO₂) и все они имеют общую вершину K.
4. Из равенства боковых сторон следует, что углы O₁KM и O₂KN равны. Это означает, что треугольники O₁KM и O₂KN подобны.
5. Также по построению имеем: угол KSM = 2 * угла KTM, так как угол вписанный, опирающийся на центр окружности, равен в два раза углу, опирающемуся на дугу.
6. Из подобия треугольников O₁KM и O₂KN следует, что угол KMO₁ равен углу KNO₂.
7. При рассмотрении треугольников KSM и KTM можно заметить, что у них есть две общие стороны (SK и TK) и одинаковый угол при вершине K. Поэтому треугольники KSM и KTM равнобедренные.
8. В равнобедренных треугольниках угол, противолежащий основанию, равен. Поэтому угол KMT равен углу KSM.
9. Из шагов 7 и 8 следует, что угол KMO₁ равен углу KMT.
10. Из шагов 6 и 9 можно заключить, что углы KMO₁ и KMT равны.
11. Угол KMT – это вертикальный угол у треугольника STK.
12. Таким образом, мы доказали, что вертикальные углы KMO₁ и STK равны. Это означает, что прямые MN и ST перпендикулярны.
Таким образом, мы доказали, что прямые MN и ST перпендикулярны, используя свойства подобных и равнобедренных треугольников, а также свойства вертикальных углов.