Периметр треугольника можно найти, используя радиус вписанной окружности и длины сторон треугольника. Так как площадь треугольника равна 42, а его радиус вписанной окружности равен 3, то можно использовать формулу площади треугольника через радиус описанной окружности: S = (abc)/(4R), где S – площадь треугольника, a, b, c – длины сторон треугольника, R – радиус описанной окружности. Подставим известные значения, получим a*b*c = 504. Также известно, что расстояние от точки S до плоскости треугольника равно 3√5. Это означает, что точка S находится на перпендикуляре, проведенном из точки O к плоскости треугольника. Так как расстояние от точки O до стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности, то это расстояние также равно 3. Используя теорему Пифагора, можем найти длину прямолинейного участка от точки O до плоскости треугольника: (3√5)^2 = 3^2 + h^2, где h – искомая длина. Решим это уравнение и найдем h = 3√2. Теперь знаем, что треугольник АОС прямоугольный, и его гипотенуза равна 3√5, а один катет равен 3√2. Найдем длину другого катета: (3√5)^2 = (3√2)^2 + x^2, где x – искомая длина. Решив это уравнение, получим x = 3. Итак, длины сторон треугольника АОС равны 3, 3√2 и 3√5, а его периметр равен 3 + 3√2 + 3√5.
Ответ: Периметр треугольника АВС равен 3 + 3√2 + 3√5.