Пусть диаметры окружностей равны D1 и D2, а отношение m:n – k. Тогда можно записать:
D1 = m*k,
D2 = n*k.
Обозначим точку касания внутренней общей касательной с окружностью I как A, а точку касания с окружностью J как B. Также обозначим центры окружностей I и J как O1 и O2 соответственно. Так как их разные окружности и никакая не лежит внутри другой, то точка A находится между O1 и O2, а точка B – справа от O2.
Рассмотрим треугольник O1AB. Поскольку O1I – радиус окружности I, и AB – касательная к окружности I, то O1I и AB перпендикулярны. Аналогично, O2J и AB перпендикулярны.
Так как O1 и O2 находятся по одну сторону от AB, угол O1AO2 прямой. Рассмотрим треугольник O1AO2. Угол O1AО2 – 90 градусов, а углы O1AO2 и O2AO1 равными, поскольку их стороны равны.
Теперь рассмотрим треугольник O1AB. Угол O1AB равен O2AO1, так как их стороны равны. Аналогично, угол O1BA равен O2BO1. Это означает, что треугольники O1AB и O2AB подобны, поскольку углы при вершине B равны.
Используя свойство подобных треугольников, можем записать:
AB / O1A = O2A / O1A = O2O1 / O1O2 = D2 / D1.
AB = D2 * O1A / D1.
Также из условия задачи, отношение O1A / O2A равно m:n, тогда O2A = m * O1A / n.
Подставляя это значение в предыдущее равенство, получаем:
AB = D2 * (m * O1A / n) / D1 = m * D2 * O1A / (n * D1) = m / n.
Таким образом, доказано, что AB = m / n.
А так как AB – касательная, то AB проходит через точки O1 и O2, и делит отрезок O1O2 в отношении m:n. Так как AB – касательная, O1O2 – прямая, то стало доказано, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.