Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра, V – объем цилиндра, S – полная поверхность цилиндра.
Полная поверхность цилиндра состоит из трех частей: двух круговых оснований и боковой поверхности. Площади этих частей равны: S1 = 2πr², S2 = 2πrh.
Объем цилиндра можно выразить через радиус основания и высоту следующим образом: V = πr²h.
Требуется найти отношение r к h, при котором полная поверхность S (зависящая от r и h) будет минимальна.
Если мы выразим h через r из условия объема V, то сможем выразить S через r и V: h = V/(πr²). Подставим это значение h в формулу S2 и получим выражение зависимости S от r и V:
S = 2πr² + 2πr(V/(πr²)) = 2πr² + 2V/r.
Теперь нам нужно найти экстремум функции S(r) = 2πr² + 2V/r. Для этого найдем ее производную и приравняем ее к нулю:
S'(r) = 4πr – 2V/r² = 0.
Решим полученное уравнение относительно r:
4πr – 2V/r² = 0
4πr³ – 2V = 0
r³ = V/(2π)
Таким образом, радиус основания цилиндра будет равен кубическому корню из отношения объема цилиндра к 2π:
r = ∛(V/(2π)).
Отношение радиуса основания к высоте цилиндра будет равно:
r/h = (∛(V/(2π)))/h.
Таким образом, отношение радиуса основания к высоте цилиндра, при котором полная поверхность цилиндра минимальна, будет (∛(V/(2π)))/h.