Для определения взаимного положения прямой и плоскости, нужно привести их к уравнениям в общем виде и проанализировать их коэффициенты.
Запишем прямую и плоскость в общем виде:
Прямая: x = -1 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3t
Плоскость: 2x – 2y + z – 5 = 0
Приведём уравнение прямой к параметрическому виду:
x = -1 + 2t
y = 3 + 4t
z = 3t
Теперь заменим координаты x, y и z в уравнении плоскости соответствующими выражениями из параметрического уравнения прямой:
2x – 2y + z – 5 = 0
2(-1 + 2t) – 2(3 + 4t) + (3t) – 5 = 0
Раскроем скобки и упростим:
-2 + 4t – 6 – 8t + 3t – 5 = 0
-12t – 13 = 0
Теперь решим полученное уравнение относительно параметра t:
-12t = 13
t = -13/12
Обратимся снова к параметрическим уравнениям x, y и z прямой и подставим найденное значение t:
x = -1 + 2(-13/12) = -1 – 13/6 = -19/6
y = 3 + 4(-13/12) = 3 – 13/3 = -2/3
z = 3(-13/12) = -13/4
Таким образом, прямая задана параметрическими уравнениями:
x = -19/6, y = -2/3, z = -13/4
Итак, прямая и плоскость пересекаются в одной точке с координатами x = -19/6, y = -2/3, z = -13/4.