Для определения взаимного расположения прямой и плоскости необходимо решить систему уравнений, где одно уравнение задает прямую, а другое – плоскость.
1. Преобразуем уравнение прямой и плоскости.
Уравнение прямой: x – 13/8 = y – 1/2 = z – 4/3
Уравнение плоскости: 2x – y – 3z + 5 = 0
2. Представим уравнение прямой в параметрической форме.
x – 13/8 = y – 1/2 = z – 4/3 = t (параметр)
3. Подставим выражение для x, y и z в уравнение плоскости.
2(t + 13/8) – (t + 1/2) – 3(t + 4/3) + 5 = 0
4. Решим получившееся уравнение относительно t.
2t + 9/4 = 5
2t = 5 – 9/4 = 20/4 – 9/4 = 11/4
t = 11/4 / 2 = 11/8
5. Подставим найденное значение t в выражение для x, y и z.
x = t + 13/8 = 11/8 + 13/8 = 24/8 = 3
y = t + 1/2 = 11/8 + 1/2 = 22/16 + 8/16 = 30/16 = 15/8
z = t + 4/3 = 11/8 + 4/3 = 33/24 + 32/24 = 65/24
6. Получили точку, принадлежащую и прямой, и плоскости: P(3, 15/8, 65/24).
7. Проверим, лежит ли прямая целиком в плоскости. Для этого подставим координаты точки P в уравнение плоскости и проверим равенство.
2 * 3 – 15/8 – 3 * 65/24 + 5 = 6 – 15/8 – 195/24 + 5 = 0
Получили, что уравнение плоскости выполняется для точки P.
Таким образом, прямая и плоскость взаимно пересекаются в точке P(3, 15/8, 65/24).