а) Пусть точка E — середина отрезка A1C, а точка F — точка пересечения прямых DM и A1C. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то AB = CD, а A1B1 = C1D1. По условию, боковые стороны равны меньшему основанию CD, поэтому A1C = AC и B1D1 = BD. По свойству равнобедренной трапеции, диагонали AD и BC равны и пересекаются в точке O. Также, AD1 и B1C1 являются продолжениями оснований AB и CD и пересекаются в точке O1.
Используя свойства параллельных прямых, можно сказать, что треугольники AOB и A1OC равны по стороне-стороне-стороне, так как:
– AO = AO1 (основание призмы)
– OB = OC (диагонали трапеции)
– AB = AC (основание трапеции)
Отсюда следует, что углы AOB и A1OC равны, и прямые AB и A1C параллельны.
Так как треугольники AFE и A1DE равнобедренные, можем сказать, что углы EAF и EDA1 равны, а значит, прямые AF и A1D1 параллельны.
Так как AB || A1C и AF || A1D1, то по свойству параллельных прямых можно сказать, что проведенные из точки F к прямым AB и A1C перпендикуляры пересекаются на прямой D1M. Проведенная из точки E в точку F прямая также является высотой треугольника AFE. Так как треугольник AFE равнобедренный, высота проходит через середину основания, следовательно, точки E и F совпадают. Значит, прямая D1M проходит через середину диагонали A1C.
б) Поскольку AA1:AD = 3:2, то треугольники AAA1 и ACD равны по стороне-прилежащей-гипотенузе, так как AD – основание равнобедренной трапеции ABCD. Следовательно, угол A1AC равен углу ACD, а значит, угол MAB равен углу ACB. Так как треугольник AMB прямоугольный (угол AMB = 90 градусов), то угол MAC равен углу MBC. Но угол MBC равен углу BCA, так как AB || A1C. Таким образом, угол BCA равен углу MAC, а значит, углы BCA и MAC сопряженные. Поэтому угол между боковым ребром BB1 и плоскостью CA1D1 равен 60 градусов.