Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости а, а вершина С не лежит в этой плоскости. Точки М и являются серединами сторон АВ и CD. Докажите, что отрезок МП параллелен плоскости а и найдите его длину, если AD=18 см, СB=6 см.

Для доказательства параллельности отрезка МП плоскости а, рассмотрим два треугольника МАП и МСП.

В треугольнике МАП:
– МА // ПС (так как это серединные линии треугольника)
– МА = 1/2АП (по определению серединной линии)
– ПС = АД – СМ (из соотношения сторон трапеции)
– Значит, МА = 1/2(АД – СМ)

В треугольнике МСП:
– МС // ПА (так как это серединные линии треугольника)
– МС = 1/2СП (по определению серединной линии)
– ПА = СВ – МС (из соотношения сторон трапеции)
– Значит, МС = 1/2(СВ – МС)

Таким образом, равенство МА = 1/2(АД – СМ) и МС = 1/2(СВ – МС) сводит нас к уравнению:

МС + МС = 1/2(СВ – МС) + 1/2(АД – СМ)

2МС = 1/2СВ + 1/2АД
Выразим СВ и АД через данные задачи:
СВ = СВ – МС + МС = СП + МС = 6 см + МС
АД = АD + СD = 18 см + СП + МС

2МС = 1/2(6 см + МС) + 1/2(18 см + СП + МС)
2МС = 3 см + 1/2МС + 9 см + 1/2СП + 1/2МС
2МС = 12 см + 1/2СП + МС

Выразим МС и СП через 2МС и 18 см:
2МС = 12 см + 1/2СП + МС
2МС – МС = 12 см + 1/2СП
МС = 12 см + 1/2СП

Уравнение позволяет нам выразить МС через 1/2СП, но нам нужно выразить величину МС конкретными числами. Для этого подставим в уравнение известные значения сторон трапеции:

2МС – МС = 12 + 1/2СП
МС = 18 см

Таким образом, отрезок МС (или МП) равен 18 см и параллелен плоскости а.