Основание равнобедренного треугольника в 6 раз меньше его периметра. Через одну из вершин треугольника перпендикулярно биссектрисе его угла при основании провели прямую. В каком отношении эта прямая делит сторону треугольника?

Обозначим через а сторону треугольника при основании, а через в – боковую сторону.
По условию задачи периметр равнобедренного треугольника равен 2а + в.
Также известно, что а = (2а + в)/6.
Разрешим уравнение относительно а:
6а = 2а + в,
4а = в.
Теперь обратимся к биссектрисе угла при основании. Она делит сторону а пополам, поэтому получим, что отрезок, который она задевает, равен а/2, а оставшийся отрезок, который она не трогает, также равен а/2.
Таким образом, прямая, проведенная через вершину треугольника перпендикулярно биссектрисе, делит сторону треугольника в отношении 1:1.
Ответ: прямая делит сторону треугольника в отношении 1:1.