Дано, что треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = AC. Отметим точки Z и У на основании АС так, что LABZ = LCBY.
Чтобы доказать, что AZ = AY, рассмотрим два случая:
1) Если Z и У лежат по разные стороны от середины основания АС, то есть Z между А и У, то мы можем воспользоваться свойствами равенства углов треугольника. Так как LABZ = LCBY, то из соответствующих вертикальных углов следует, что LYB = LZA. Но так как треугольник ABC равнобедренный, то LB = LC, и поэтому LYA = LZA. Следовательно, треугольники AZY и AYZ равносторонние, и из этого следует, что AZ = AY.
2) Если Z и У лежат по одну сторону от середины основания АС, то есть Z и У лежат с одной стороны от А, то в этом случае нам нужно использовать свойства равенства сторон и углов в треугольнике. Раз LABZ = LCBY, то сегменты LZ и LY равны, так как из соответствующих вертикальных углов следует, что LBY = LAZ. Но так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC, и поэтому LY = LA и LZ = LA. Теперь мы имеем LY = LA и LZ = LA, что означает, что LY = LZ. Следовательно, треугольники ALY и ALZ равнобедренные, а значит у них равны углы AYL и AZL. Так как AZL и AYL являются соответствующими вертикальными углами и равны, то AZ = AY.
Таким образом, в обоих случаях получается, что AZ = AY. Задача доказана.