Остроугольный треугольник ABC, высоты которого пересекаются в точке H, вписан в окружность с центром O. Пусть P – точка на окружности, диаметрально противоположная точке A. а) Докажите, что угол PBA= угол PCA=90 градусов. б) Докажите, что четырёхугольник PBHC – параллелограмм. в) Докажите, что расстояние от точки O до стороны BC вдвое меньше, чем AH.

а) Чтобы доказать, что $angle PBA = angle PCA = 90^circ$, можно воспользоваться свойствами описанного окружности. Так как P – диаметрально противоположная точке A, то $angle PBA = 90^circ$. Чтобы доказать, что $angle PCA = 90^circ$, заметим, что треугольник HAC подобен треугольнику ABC, так как они имеют общий угол H и углы HCA и BAC соответственно прямые (так как CA и BA – это высоты). Следовательно, $angle PCA = angle BCA = 90^circ$.
б) Чтобы доказать, что четырёхугольник PBHC – параллелограмм, достаточно показать, что PB || CH и PH || BC. Из пункта а) уже получено, что $angle PCA = 90^circ$, следовательно, $angle PCH = 90^circ$. Заметим также, что из описанности треугольника ABC следует, что $angle BAC = angle BPC$. Так как PH является высотой в треугольнике ABC, то $angle BAC = angle BPC = 90^circ$, а значит, PH || BC. Таким образом, четырёхугольник PBHC является параллелограммом.
в) Чтобы доказать, что расстояние от точки O до стороны BC вдвое меньше, чем AH, заметим, что треугольники AOH и ACH подобны (по правилу SAS, так как у них есть общий угол A и соотношение AH:AO = 2:1). Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников относятся как 2:1, и значит, отрезок OH вдвое меньше, чем отрезок CH. Так как CH является высотой, а значит, и расстоянием от точки O до стороны BC, получаем, что расстояние от точки O до стороны BC вдвое меньше, чем AH.