Пусть угол между диагоналями прямоугольника равен α. Обозначим вершину прямоугольника, из которой проведён перпендикуляр к диагонали, как В, а точку пересечения перпендикуляра с диагональю как С.
Поскольку перпендикуляр делит угол между диагоналями в соотношении 5:4, можно записать следующее:
BC/AC = 5/4.
Заметим, что треугольник ABC является подобным треугольнику BDC, так как угол ABC и угол BDC оба являются прямыми, а угол BAC и угол BCD являются соответственными углами.
Из подобия треугольников следует, что соотношение сторон этих треугольников будет равно:
AC/BD = BC/CD.
Мы знаем, что BC/AC = 5/4, поэтому можно записать:
AC/BD = 5/4.
Так как AC и BD являются диагоналями прямоугольника, то треугольник ABC равнобедренный. Следовательно, угол ABC равен углу BAC.
Итак, мы имеем следующую систему уравнений:
BC/AC = 5/4,
AC/BD = 5/4.
Rearrange эти уравнения для AC и BC:
AC = (5/4)*BC,
BC = (4/5)*AC.
Подставим это в уравнение AC/BD = 5/4:
(5/4)*BC/BD = 5/4.
Сокращаем дроби:
BC/BD = 1.
Так как это отношение соответствует отношению катетов прямоугольного треугольника, это означает, что угол BCD равен 45 градусам. А следовательно, угол BAC, который является острым углом между диагоналями, равен 45 градусам.