Пусть A и B – концы диаметра окружности, такие, что AB = 4+25 = 29 сантиметров. Пусть M – середина отрезка AB. Из условия задачи следует, что перпендикуляр, опущенный из точки на окружности на диаметр, делит его на два отрезка, которые обозначим через XM и YM. Пусть O – центр окружности, OM – радиус окружности, а N – точка пересечения перпендикуляра с окружностью. Из геометрических свойств окружности известно, что радиус, проведенный к точке пересечения с хордой, является высотой, опущенной на эту хорду.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AMN. Так как N лежит на окружности и перпендикуляр опущен из точки на окружности, то угол AMN прямой. Из свойств прямоугольного треугольника получаем:
AM^2 = AN^2 + MN^2.
Из равнобедренности прямоугольных треугольников АОМ и ВОМ радиус ОМ = OB = 14.5 сантиметров. Также из свойств прямоугольных треугольников находим следующий результат:
AN = AM – MN.
Подставляем это выражение в формулу AM^2 = AN^2 + MN^2:
AM^2 = (AM – MN)^2 + MN^2,
AM^2 = AM^2 – 2AM*MN + MN^2 + MN^2,
AM^2 = AM^2 – 2AM*MN + 2MN^2,
2AM*MN = 2MN^2.
Упрощаем:
AM = MN.
Из вышенаписанного следует, что треугольник AMN – равнобедренный, ибо AM = MN. Таким образом, AM = MN = 14.5 сантиметров.
Теперь, чтобы найти расстояние до концов AB, нужно вычесть длину AM из длины AB:
AB – AM = 29 – 14.5 = 14.5 сантиметров.
Таким образом, расстояние от концов диаметра до точки, из которой опущен перпендикуляр, равно 14.5 сантиметров.