Обозначим площадь основания пирамиды через S, а площадь сечения через S_п. По условию, отношение высоты пирамиды, разделяемой плоскостью, к общей высоте пирамиды равно 4 : 9. Получается, что отношение объемов двух частей пирамиды, разделенных плоскостью, будет также равно 4 : 9.
Пользуясь формулой для объема пирамиды V = (1/3) × S × h, где S – площадь основания, h – высота пирамиды, получаем следующее равенство объемов:
(1/3) × S × (4h/13) = (1/3) × S × (9h/13) + (1/3) × S_п.
Так как внешний объем пирамиды равен внутреннему, можно сократить это уравнение на (1/3) × S и домножить на 13, чтобы избавиться от дроби:
4h = 9h + 13S_п.
Теперь мы можем выразить площадь основания пирамиды S через площадь сечения S_п:
S = (4h – 9h) / 13S_п = (-5h) / 13S_п.
Мы знаем, что S_п = 64, поэтому S = (-5h) / (13 × 64).
Осталось выразить высоту пирамиды h через площадь сечения S_п. Зная, что объем пирамиды равен (1/3) × S × h, можем написать:
S_п × h = (1/3) × S × h + (1/3) × S × (13h/4) = (1/3) × S × (17h/4).
Тогда высота пирамиды h равна:
h = (3S_п × h) / (17S) = (3 × 64 × h) / (17 × (-5h)) = -12 / 5.
Мы получили отрицательное значение для h, что означает, что плоскость пересекает пирамиду внизу от основания. Нас интересует высота пирамиды, поэтому примем h = 12/5.
Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для площади основания S = (-5h) / (13 × 64):
S = (-5 × 12/5) / (13 × 64) = -1/26.
Так как площадь не может быть отрицательной, изменяем знак на положительный:
S = 1/26.
Таким образом, площадь основания пирамиды равна 1/26.