Для решения задачи воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника:
S = (a * b) / 2,
где S – площадь треугольника, a и b – длины катетов.
В нашем случае один из катетов равен 12 см, поэтому можем записать уравнение:
S = (12 * b) / 2 = 54.
Решим полученное уравнение:
12 * b = 2 * 54,
12 * b = 108,
b = 108 / 12,
b = 9.
Таким образом, другой катет равен 9 см.
Далее будем искать полупериметр треугольника. Воспользуемся формулой:
p = (a + b + c) / 2,
где p – полупериметр треугольника, a, b и c – длины сторон.
В нашем случае треугольник прямоугольный, поэтому катеты a и b, а гипотенуза c.
Таким образом, a = 12, b = 9.
Тогда полупериметр p = (12 + 9 + c) / 2.
Заметим, что полупериметр треугольника равен сумме длин катетов:
p = 12 + 9,
p = 21.
Далее найдем радиус вписанной окружности при помощи формулы:
r = S / p,
где r – радиус окружности, S – площадь треугольника, p – полупериметр треугольника.
Вставляя известные значения, получим:
r = 54 / 21,
r ≈ 2.57.
Итак, радиус вписанной окружности данного треугольника равен приблизительно 2.57 см.