Для нахождения третьей вершины треугольника, зная площадь и координаты двух вершин, можно использовать следующий подход:
1. Найдем длины двух сторон треугольника. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).
Сторона AB: dAB = sqrt((1-3)^2 + (-3-1)^2) = sqrt((-2)^2 + (-4)^2) = sqrt(20) = 2*sqrt(5).
Сторона AC (пусть третья вершина называется C): dAC = sqrt((x3-3)^2 + (y3-1)^2).
2. Подставим dAC и известную площадь S в формулу площади треугольника: S = (1/2) * dAB * dAC.
3 = (1/2) * 2*sqrt(5) * dAC.
3. Решим полученное уравнение относительно dAC: dAC = 2 * (3/sqrt(5)) = 6/sqrt(5) = (6*sqrt(5))/5.
4. Выразим координаты вершины C. Так как третья вершина лежит на оси ординат Oy, значит ее абсцисса равна 0. Обозначим ординату вершины C как y3.
Имеем: dAC = sqrt((0-3)^2 + (y3-1)^2).
(6*sqrt(5))/5 = sqrt((-3)^2 + (y3-1)^2).
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(6*sqrt(5))^2/5^2 = (-3)^2 + (y3-1)^2.
(6* sqrt(5))^2/5^2 = 9 + (y3-1)^2.
(6^2 * 5)/5^2 = 9 + (y3-1)^2.
36/5 = 9 + (y3-1)^2.
36/5 – 9 = (y3-1)^2.
36/5 – 45/5 = (y3-1)^2.
-9/5 = (y3-1)^2.
Возьмем квадратный корень от обеих частей:
sqrt(-9/5) = sqrt((y3 – 1)^2).
Так как площадь треугольника положительна, то y3 > 1, поэтому sqrt(-9/5) = sqrt((y3 – 1)^2).
y3 – 1 = sqrt(-9/5).
y3 = 1 + sqrt(-9/5).
5. Итак, вышли координаты третьей вершины треугольника – C(0; 1 + sqrt(-9/5)).
Ответ: третья вершина треугольника имеет координаты C(0; 1 + sqrt(-9/5)).