Решение:
Обозначим радиус сферы как r и расстояние от центра сферы до точки М как d.
Так как плоскость касается сферы, то в точке касания вектор, проведенный от центра сферы до точки касания, должен быть перпендикулярен плоскости касания. Это означает, что радиус сферы, лежащий в плоскости касания, должен быть перпендикулярен плоскости. То есть, отрезок КМ – это высота прямоугольного треугольника, где КМ – это гипотенуза, а радиус сферы – это одно из катетов.
Из треугольника КМО (где О – это центр сферы) по теореме Пифагора получаем следующее уравнение:
r^2 = d^2 + (d – r)^2
Упростим это уравнение:
r^2 = d^2 + (d^2 – 2dr + r^2)
r^2 = 2d^2 – 2dr
Теперь у нас есть уравнение с одной переменной. В данной задаче дано, что d = 33см и расстояние от точки К до точки М равно 21см. Подставим это в уравнение:
r^2 = 2 * (33см)^2 – 2 * 33см * r
r^2 = 2 * 1089см^2 – 66см * r
0 = r^2 + 66см * r – 2178см^2
Решим это уравнение для r с использованием квадратного уравнения:
r = (-66см ± √(66см)^2 – 4 * 1 * -2178см^2) / 2 * 1
r = (-66см ± √(4356см^2 + 86952см^2)) / 2
r = (-66см ± √(91308см^2)) / 2
r = (-66см ± 302см) / 2
Получаем два возможных значения для радиуса сферы:
r1 = (-66см + 302см) / 2 = 118см / 2 = 59см
r2 = (-66см – 302см) / 2 = -368см / 2 = -184см
В данной задаче радиус должен быть положительным, поэтому отбрасываем r2 = -184см. Ответ: радиус сферы равен 59 см.