Сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через середину ребра AB и параллельной прямым A1C1 и BD1, будет прямоугольником.
Для начала найдем середину ребра AB. Ребра куба равны по длине, поэтому середина ребра AB совпадает с серединой ребра BC, которое равно длине ребра AB. Значит, середина ребра AB находится на середине ребра BC, и обозначим эту точку как M.
Затем проведем прямые A1C1 и BD1 параллельно друг другу. Короткой стороной куба BCDA (т.е. стороной, не содержащей вершину A1B1C1D1) обозначим N. Так как плоскость сечения проходит через середину ребра AB и параллельна прямым A1C1 и BD1, то сечение будет параллелограммом, у которого сторона NC1 будет параллельна плоскости сечения. Обозначим точку пересечения сторон AB и C1D1 как P.
Таким образом, мы получаем параллелограмм PORT (где P – пересечение AB и C1D1, O – середина ребра C1D1, R – пересечение BC и C1D1, T – пересечение BM и C1D1).
Так как середина ребра C1D1 равноудалена от A1C1 и BD1, то прямая RO является высотой параллелограмма и делит его на два равных треугольника (ROT и BOR).
При этом, так как RO и часть NC1 являются высотами треугольников, а NC1 и RP являются сторонами параллелограмма, то RO делит RP пополам.
Ответ: Секущая плоскость делит отрезок DB1 пополам.