правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 120 квадратным сантиметрам. Радиус окружности, вписанной в основание, равен арифметическому корню из 8 см. Найдите: сторону основания пирамиды, боковое ребро пирамиды, высоту пирамиды, угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды и угол наклона боковой грани к плоскости основания пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся следующими соотношениями для правильной четырехугольной пирамиды:

Площадь боковой поверхности пирамиды: Sбп = (периметр основания) * (сторона бокового треугольника) / 2

Периметр основания пирамиды: Pосн = 4 * a, где a – сторона основания пирамиды

Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды: r = (a * √2) / 2, где √2 – корень из 2

Высота пирамиды: h = √(b² – r²), где b – боковое ребро пирамиды

Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды: α = arctg(2 * h / a)

Угол наклона боковой грани к плоскости основания пирамиды: β = arcsin (r / b)

Данные задачи позволяют нам приступить к расчетам.

1. По формуле для площади боковой поверхности пирамиды найдем сторону бокового треугольника:
120 = (Pосн * b) / 2
Периметр основания пирамиды выражается через сторону основания: Pосн = 4 * a
120 = (4 * a * b) / 2
240 = 4 * a * b
a * b = 60

2. Из равенства a * b = 60 найдем сторону основания пирамиды a.
Так как радиус окружности, вписанной в основание, равен арифметическому корню из 8, то r = (√8) / 2 = (√4 * √2) / 2 = 2 * (√2) / 2 = √2
a * √2 / 2 = √2
a * √2 = 2 * √2
a = 2

3. Подставив найденное значение a = 2 в формулу для периметра основания, получим:
Pосн = 4 * a = 4 * 2 = 8

4. Используем значение радиуса р = √2 и формулу для высоты пирамиды:
h = √(b² – r²)
Так как ребро пирамиды равно b, получим:
h = √(b² – (√2)²) = √(b² – 2)

5. Выразим b через a и подставим значения полученные выше:
a * b = 60
2 * b = 60
b = 30

h = √(30² – 2) = √900 – √2 = 30√2 – √2 = (√2 – 1) * 30

6. Найдем угол α:
α = arctg(2 * h / a) = arctg(2 * (√2 – 1) * 30 / 2) = arctg(√2 – 1) * 30

7. Находим угол β:
β = arcsin (r / b) = arcsin (√2 / 30)

Таким образом, получаем следующие результаты:
сторона основания пирамиды a = 2,
боковое ребро пирамиды b = 30,
высота пирамиды h = (√2 – 1) * 30,
угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды α = arctg(√2 – 1) * 30,
угол наклона боковой грани к плоскости основания пирамиды β = arcsin (√2 / 30).