Правильный шестиугольник вписан в окруж-ность, а правильный треугольник описан около этой окружности. Найдите отношение сторон правильных шестиугольника и треугольника.

Для начала, найдем отношение радиусов вписанной и описанной окружностей. Пусть R1 – радиус описанной окружности, R2 – радиус вписанной окружности.
Заметим, что радиус описанной окружности треугольника равен половине стороны треугольника, а радиус вписанной окружности равен половине высоты, проведенной к стороне.
Рассмотрим треугольник ABC, где A – центр описанной окружности, B – замыкающая точка стороной треугольника, а C – центр вписанной окружности. Пусть a – сторона треугольника, h – высота треугольника, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности.
Так как треугольник ABC – прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:
(a/2)^2 + h^2 = R^2, (1)
r^2 + h^2 = (a/2)^2. (2)
Из этих двух уравнений можно выразить h^2 и подставить в уравнение (1):
(a/2)^2 + (a/2)^2 – r^2 = R^2, (3)
Учтем, что радиус описанной окружности равен половине стороны треугольника, то есть R = a/2.
Подставим R в уравнение (3):
(a/2)^2 + (a/2)^2 – r^2 = (a/2)^2.
Упростим до:
a^2/4 – r^2 = 0,
a^2 = 4r^2,
a = 2r.
Теперь, чтобы найти отношение сторон правильного шестиугольника и треугольника, нам необходимо найти сторону треугольника a и сторону шестиугольника.
Сторона шестиугольника равна диаметру вписанной окружности, так как шестиугольник полностью охватывает каждую сторону треугольника.
Следовательно, диаметр in=2r.
Итак, отношение сторон треугольника и шестиугольника равно:
a/2r.
У нас есть a=2r, поэтому отношение сторон равно:
(2r)/(2r)=1:1.

Ответ: Отношение сторон правильного шестиугольника и треугольника равно 1:1.