Для доказательства данных утверждений рассмотрим треугольники АΔС и АΔС, где Δ – произвольная точка на прямой CD.
а) Чтобы доказать, что треугольник АБС является проекцией треугольника ABD на плоскость АБС, нужно проверить, что точки A, B и C лежат в одной плоскости и что у них одинаковые проекции на эту плоскость.
Первое условие выполняется, так как треугольник АВС лежит в плоскости, перпендикулярной прямой CD. Для выполнения второго условия, рассмотрим проекцию точек A, B и D на эту плоскость.
Пусть М, N и L – проекции точек A, B и D соответственно на плоскость АBC. Также пусть K – проекция точки C на плоскость ABD.
Так как прямая CD перпендикулярна плоскости АВС, то N и L лежат на прямой CD. Поэтому L совпадает с D, а N совпадает с B.
Также, так как Треугольник ABD и треугольник ABC являются подобными, а А и С лежат на одной прямой CD, то К также совпадает с С.
Таким образом, мы получили, что М, К и L совпадают, то есть ABL является проекцией ABD на плоскость АВС. Таким образом, утверждение а) доказано.
б) Для доказательства второго утверждения нам надо доказать, что DH является высотой треугольника ABD.
Пусть G – точка пересечения CD и AC. Так как CD перпендикулярна плоскости АВС, то AD перпендикулярна CD. Это значит, что AG является высотой треугольника АВС.
Также, так как прямая AG является высотой треугольника АВС, а прямая CD перпендикулярна плоскости АВС, то AG и CD пересекаются. Пусть точка пересечения обозначается H.
Так как Г принадлежат AG и CD, следовательно, Г совпадает с Н.
Таким образом, мы получаем, что DH является высотой треугольника ABD. Утверждение б) также доказано.