Дано: треугольник ABC, прямая параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и DC в точках M и N соответственно. Известно, что AC = 15 и MN = 3.
Так как прямая параллельна стороне AC, то получаем подобие треугольников. Треугольник MNB подобен треугольнику ABC, так как у них соответствующие углы равны. Значит, соответствующие стороны также имеют одинаковое отношение.
Определим отношение сторон MB и AB треугольников MNB и ABC. Из подобия треугольников MNB и ABC следует, что MB/AB = MN/AC. Подставляя значения, получаем MB/AB = 3/15 = 1/5.
Площадь треугольника рассчитывается по формуле S = (1/2) * основание * высота. Так как высоты треугольников различны, будем определять площади треугольников по основаниям.
Площадь треугольника MNB будет равна (1/2) * MB * h1, где h1 – высота треугольника MNB относительно основания MB. А площадь треугольника ABC будет равна (1/2) * AB * h2, где h2 – высота треугольника ABC относительно основания AB.
Так как треугольники MNB и ABC подобны и имеют отношение сторон MB/AB = 1/5, то высоты треугольников будут иметь такое же отношение: h1/h2 = 1/5.
Значит, отношение площадей треугольников равно (1/2) * MB * h1 : (1/2) * AB * h2 = MB/AB * h1/h2 = (1/5) * (1/5) = 1/25.
Ответ: отношение площадей треугольников S△MBN:S△ABC = 1/25.