Пусть точка D – пересечение прямой, параллельной стороне AC и проходящей через точку B, с прямой AC.
Так как прямая BN параллельна стороне AC треугольника ABC, по теореме Талеса можно записать пропорцию:
BN/NC = AB/AC
Известно, что AC = 55 и NC = 36. Подставим эти значения в пропорцию:
BN/36 = AB/55
Заметим, что MN = MD + DN и тогда AB = ND. Таким образом, можно написать ещё одну пропорцию:
ND/MD = AB/AC
Известно, что MN = 22. Следовательно, MD = MN/2 = 11. Подставляем значения в пропорцию:
ND/11 = ND/55
Таким образом, получаем две пропорции:
BN/36 = AB/55 и ND/11 = ND/55
Решим первую пропорцию относительно BN:
BN = (AB * 36)/55
Решим вторую пропорцию относительно ND:
ND = (ND * 11)/55
Заметим, что ND = AB, поэтому можем записать:
AB = (AB * 11)/55
Упростим все выражения:
36 * BN = 55 * AB
11 * AB = 55 * ND
Перепишем в виде уравнения:
36BN – 55AB = 0
11AB – 55ND = 0
Подставим ND = AB:
11AB – 55AB = 0
-44AB = 0
Отсюда получаем, что AB = 0. Значит, точки M и N совпадают, и BN = AB = 0.
Итак, если точки M и N совпадают, то длина BN равна 0.