На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Обозначим точку пересечения прямой, параллельной стороне AC, с продолжением стороны BC за P. Таким образом, получим параллелограмм ABMP, в котором AB и MP паралельны, и BM и AP пересекаются в точке N.
Поскольку стороны AB и AC паралельны, то треугольники ABC и AMN подобны. Также треугольники MBN и MPA подобны.
Обозначим длину отрезка MP через x (так как параллелограмм ABMP — параллелограмм, то его диагонали равны между собой).
Из подобия треугольников AMN и ABC имеем:
MN/AC = AM/AB
3/15 = AM/AB
AM = AB × 3/15 = AB/5
Из подобия треугольников MBN и MPA имеем:
MB/AM = MP/AP
MB/(AB/5) = x/(x+AC)
MB/(AB/5) = x/(x+15)
Раскроем два знаменателя:
5MB/AB = x/(x+15)
Теперь используем тот факт, что сумма отношений длин сторон параллелограмма равна 6:
MB/AB + MP/AP = 6
Подставим найденное соотношение для MP/AP:
MB/AB + x/(x+15) = 6
Теперь нам нужно решить это уравнение относительно x. Раскроем скобки:
MB/AB + x/(x+15) = 6
MB/AB + x/(x+15) – 6 = 0
Умножим обе части уравнения на AB(x+15), чтобы избавиться от знаменателей:
MB(x+15) + xAB – 6AB(x+15) = 0
MBx + 15MB + xAB – 6ABx – 90AB = 0
Сгруппируем слагаемые:
x(MB – 6AB) + 15MB – 90AB = 0
Факторизуем это уравнение, используя то, что MB = AB – MN:
x(AB – MN – 6AB) + 15(AB – MN) – 90AB = 0
x(-5AB – MN) + 15AB – 15MN – 90AB = 0
x(-5AB) + 15AB – 15MN – 90AB = 0
x(-5AB – 90AB) + 15AB – 15MN = 0
x(-95AB) + 15AB – 15MN = 0
Выразим x через отношение площадей треугольников MBN и ABC:
-95ABx + 15AB – 15MN = 0
x = (15MN)/(15AB – 95AB) = MN/(AB – 6AB)
Таким образом, мы нашли отношение длин отрезков MP и AP, которое равно MN/(AB – 6AB). Отсюда следует, что площадь треугольника MBN в отношении к площади треугольника ABC будет равна квадрату этого отношения:
( MBN : ABC ) = (MN/(AB – 6AB))^2 = (MN/AB)^2/(1 – 6)^2 = ((MN/AB)^2)/(25) = (3/15)^2/25 = 1/25
Отношение площадей треугольников MBN и ABC равно 1/25.
