Рассмотрим треугольник ABC и его описанную окружность с центром в точке O.
Так как прямая р проведена из центра описанной окружности, то она будет перпендикулярна диаметру, проходящему через точки A и C. Пусть точка M – середина стороны AC. Тогда прямая р будет проходить через точку M и быть ей перпендикулярна.
Покажем, что все точки, равноудаленные от вершин треугольника ABC, будут лежать на прямой r.
Пусть точка P лежит на прямой r и равноудалена от вершин треугольника ABC.
Так как точка P равноудалена от вершин, то расстояние от P до вершин должно быть одинаковым.
Пусть PA = PC = x.
Так как P лежит на прямой r, то PM будет являться высотой треугольника AMС.
Таким образом, по свойству высоты, прямая PM будет перпендикулярна стороне AC.
Из этого следует, что треугольники PMA и PMC равны по катетам, так как у них совпадают катеты PM и расстояние до точек A и C.
Таким образом, PA = PC = PM = x.
То есть, все точки, равноудаленные от вершин треугольника ABC, лежат на прямой r, проходящей через середину стороны AC.
Заданое свойство доказано.