Для начала рассмотрим треугольник AB1C1. Прямая, проходящая через вершину треугольника (AB1), и середину противоположной стороны (C1), называется медианой. Также, прямая, проходящая через вершину треугольника и ортоцентр (точка пересечения высот треугольника), называется высотой.
По определению окружности девяти точек треугольника ABC, она проходит через середины сторон треугольника, середины отрезков высот треугольника и середины отрезков между вершинами треугольника и их ортоцентром.
Заметим, что точки A1, B1 и C1, соответствующие высотам треугольника ABC, являются серединами сторон треугольника AB1C1. Из этого следует, что окружность девяти точек треугольника ABC проходит также через эти точки.
Таким образом, точка P, пересечение прямых Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C, должна лежать на окружности девяти точек треугольника ABC.
Доказательство этого факта требует более глубокого изучения свойств окружности девяти точек треугольника ABC и его прямых Эйлера. Но, с учетом вышеприведенных фактов, можно сделать вывод, что прямые Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C пересекаются в точке P, лежащей на окружности девяти точек треугольника ABC.