Пусть AH — высота треугольника ABC. Выразить вектор overrightarrow {AH} через векторы overrightarrow {AB}=vec a и overrightarrow {AC}=vec b. Используя полученное выражение найти координаты вектора overrightarrow {AH} в базисе {vec a,,vec b}, если известно, что vec a,cdot,vec a=4,,vec a,cdot,vec b=-frac 72,,vec b,cdot,vec b=25 overrightarrow {AH}=(

Для нахождения вектора $overrightarrow{AH}$ через векторы $overrightarrow{AB}=vec{a}$ и $overrightarrow{AC}=vec{b}$, мы можем воспользоваться свойствами векторов треугольника.

Во-первых, мы знаем, что вектор $overrightarrow{AH}$ является проекцией вектора $vec{b}$ на сторону $AB$ треугольника.

Следовательно, мы можем найти проекцию вектора $vec{b}$ на вектор $vec{a}$, используя формулу для проекции:

$text{proj}_{vec{a}}(vec{b}) = frac{vec{a} cdot vec{b}}{vec{a} cdot vec{a}} cdot vec{a}$

В нашем случае, $vec{a} cdot vec{a} = 4$, $vec{a} cdot vec{b} = -frac{7}{2}$, и $vec{b} cdot vec{b} = 25$. Подставляя эти значения в формулу проекции, получаем:

$text{proj}_{vec{a}}(vec{b}) = frac{-frac{7}{2}}{4} cdot vec{a} = -frac{7}{8} cdot vec{a}$

Окончательно, вектор $overrightarrow{AH}$ равен:

$overrightarrow{AH} = vec{b} – text{proj}_{vec{a}}(vec{b}) = vec{b} + frac{7}{8} cdot vec{a}$

Теперь, для нахождения координат вектора $overrightarrow{AH}$ в базисе {$vec{a}$, $vec{b}$}, мы просто записываем его коэффициенты перед векторами $vec{a}$ и $vec{b}$. В нашем случае, эти коэффициенты равны:

$overrightarrow{AH} = left(frac{7}{8}, 1right)$

Поэтому, координаты вектора $overrightarrow{AH}$ в базисе {$vec{a}$, $vec{b}$} равны $left(frac{7}{8}, 1right)$.