Пусть BB_1 – высота треугольника ABC; O – центр его описанной окружности; B_2 – точка пересечения прямой BB_1 с окружностью, отличная от B; H – точка пересечения высот треугольника. Докажите: а) HB_1=B_1B_2  (т. е. точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно его стороны, лежит на окружности, описанной около треугольника); б) расстояние от O до AC вдвое меньше, чем BH; в) ABH=OBC

а) Для доказательства равенства HB_1=B_1B_2 нам нужно воспользоваться свойствами окружности, ортоцентра и высот треугольника.

Известно, что B_1B_2 – диаметр описанной окружности треугольника ABC. Также известно, что BB_1 – высота треугольника, проходящая через точку B.

Так как ортоцентр – точка пересечения высот треугольника, а высоты перпендикулярны к основаниям, то треугольник HB_1B_2 является прямоугольным.

По свойствам прямоугольного треугольника, у него две прямые стороны (HB_1 и B_1B_2), имеющие общую точку B_1, и поэтому длина катета HB_1 равна длине гипотенузы B_1B_2, то есть HB_1=B_1B_2.

Таким образом, доказана часть а) задачи.

б) Для доказательства утверждения о расстоянии между O и AC нужно использовать свойства окружности и треугольника.

Известно, что O – центр описанной окружности треугольника ABC. Также, AC – одна из сторон треугольника. Рассмотрим треугольник AOC.

Из свойств окружностей следует, что линия, соединяющая центр окружности и середину дуги, имеет угол величиной в два раза меньше центрального угла этой дуги. Так как угол AOC является центральным углом, то угол между линией AO и стороной AC равен половине угла AOC.

Ранее было доказано, что HB_1=B_1B_2. Таким образом, треугольники HB_1A и B_1B_2C равны по двум сторонам и углу, так как у них одна сторона общая (B_1B_2) и две стороны равны (HB_1=B_1B_2) и угол между ними равен 90 градусам.

Из равенства треугольников следует, что угол HAB_1 равен углу OCB_1.

Таким образом, угол между линией AO и стороной AC равен углу между линией OC и стороной CB_1.

Так как B_1B_2 – диаметр описанной окружности, то угол OCB_1 – прямой. Следовательно, угол HAB_1 также является прямым.

Из равенства углов и свойств прямоугольных треугольников следует, что треугольник ABH подобен треугольнику OBC, так как у них один прямой угол и углы HAB_1 и OCB_1 равны.

Таким образом, доказано утверждение б) задачи.

в) Из утверждения б) следует, что треугольник ABH подобен треугольнику OBC. Так как соответствующие углы треугольников равны (ABH=OCB), то соответствующие стороны также пропорциональны.

Таким образом, доказано утверждение в) задачи.