Пусть сторона равностороннего треугольника равна а. Так как окружность вписана в треугольник, то она касается каждой из сторон треугольника в ее середине.
Построим линии радиусов окружности, соединив центр окружности со средними точками каждой стороны треугольника. Получим три медианы, которые делят треугольник на шесть равных треугольников. Следовательно, каждая сторона треугольника делится двумя медианами на три равных отрезка.
Пусть точка касания окружности с одной из сторон треугольника разделяет эту сторону на отрезки а1 и а2. Тогда a1 + a2 = а.
Также, так как радиус окружности равен 2корня из 3, то для треугольника с одной стороной а равны длины его медианы M1: M1 = корень из 3/2 * а.
Так как сторона треугольника делится медианами на три равных отрезка, a1 = a2 = М1, поэтому a1 + a2 = 2 * М1.
Тогда а = 2 * М1, а = 2 * корень из 3/2 * а, а = корень из 3 * а.
Возводим обе части уравнения в квадрат: а^2 = 3 * а^2.
Сокращаем обе части уравнения на а^2: 1 = 3.
Получили противоречие. Поэтому решение этого уравнения невозможно.
Итак, равносторонний треугольник со стороной а с заданным радиусом окружности не существует.