Обозначим длину отрезка AB1 как x.
Для начала построим перпендикуляры из точек A1, B1, C1 к сторонам треугольника ABC. Обозначим точку пересечения перпендикуляра из B1 с BC как D, перпендикуляра из A1 с AC как E и перпендикуляра из C1 с AB как F.
Так как радиус вписанной окружности равен 9, то длина отрезка BD равна 9, а длина отрезка CE равна 9.
Также, так как окружность касается сторон треугольника в точках A1, B1, C1, то A1D, B1E и C1F являются радиусами вписанной окружности. То есть, A1D = B1E = C1F = 9.
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ABC1 и A1DB. Из этих треугольников можно найти отношения между их сторонами.
В треугольнике ABC1 по теореме Пифагора получаем:
AC1^2 = AB1^2 + BC1^2,
12^2 = x^2 + 8^2,
144 = x^2 + 64,
x^2 = 80,
x = √80.
Теперь рассмотрим треугольник A1BD. Из него можно найти длину отрезка AD, используя теорему Пифагора:
AD^2 = A1D^2 + x^2,
AD^2 = 9^2 + √80^2,
AD^2 = 81 + 80,
AD^2 = 161,
AD = √161.
Таким образом, длина отрезка AB1 равна √161.