Дано: точка А и окружность с центром O и радиусом r, при этом расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса (|AO| < r).
Доказательство:
1) Пусть прямая l проходит через точку А и не пересекает окружность.
2) Обозначим точку пересечения прямой l с окружностью как точку В.
3) Возможны два случая:
a) Точка В находится на расстоянии больше r от центра окружности O.
Это означает, что |BO| > r.
Но тогда треугольник АBO получается прямоугольным и согласно теореме Пифагора выполняется следующее соотношение:
|AO|^2 = |AB|^2 + |BO|^2.
Исходя из предположения, что |AO| < r и |BO| > r, это противоречие.
Значит, такой случай невозможен.
b) Точка В находится на расстоянии меньше r от центра окружности O.
Это означает, что |BO| < r.
В этом случае треугольник АOB является остроугольным, а потому сторона АВ не может быть равна диаметру окружности (который равен 2r).
Значит, точка В не может лежать на окружности.
Следовательно, прямая l пересекает окружность и является секущей.
Таким образом, мы доказали, что любая прямая, проходящая через точку А и не пересекающая окружность, не удовлетворяет условию |AO| < r. Следовательно, любая такая прямая является секущей по отношению к данной окружности.