Расстояние от точки М внутри круга радиуса R до его центра равно а. Найдите чему равно произведение отрезков хорд этого круга, проходящих через точку М

Пусть точка М находится на расстоянии r от центра круга. Тогда мы можем продолжить отрезок MO до пересечения с окружностью и обозначить это пересечение точкой X.

Так как М лежит внутри круга, то r < R. Из треугольников MOC и XOQ (где Q - центр круга) по теореме Пифагора получаем уравнение для отрезка OX: OX^2 = R^2 - r^2 Теперь рассмотрим две хорды, проходящие через точку М: AB и CD. Проведем радиусы к точкам пересечения этих хорд с окружностью, обозначим их точками E, F, G и H. По теореме о хордах получаем, что произведение отрезков хорд AB и CD равно произведению отрезков AE и BE (или CF и DF, так как эти отрезки равны). Теперь рассмотрим треугольники MXE и OXF. Они подобны, так как у них углы при вершинах соответственно прямые. Тогда пропорция сторон этих треугольников будет следующей: MX/XO = EX/OF Используя уравнение для отрезка OX (OX^2 = R^2 - r^2), можем выразить отношение EX/OF через r и R: EX/OF = (r - a)/(r + a) Таким образом, пропорция становится: MX/XO = (r - a)/(r + a) Аналогично, рассматривая треугольники MXF и OXE, получаем пропорцию: MX/XO = (r + a)/(r - a) Сравнивая эти две пропорции, получаем: (r - a)/(r + a) = (r + a)/(r - a) (r - a)^2 = (r + a)^2 Раскрывая скобки и упрощая: r^2 - 2ar + a^2 = r^2 + 2ar + a^2 4ar = 0 Отсюда следует, что a = 0 или r = 0. Но так как М находится внутри круга, то r > 0, а значит a = 0.

Итак, произведение отрезков хорд AB и CD равно 0.