Для доказательства того, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, достаточно показать, что углы BAC и DAC равны.
Рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них общее основание AC и равные углы при вершине A, так как треугольники равнобедренные. Таким образом, треугольники ABC и ADC подобны.
Из подобия треугольников ABC и ADC следует, что отношение длины стороны BC к длине стороны DC равно отношению длины стороны AB к длине стороны AC.
Обозначим это отношение через k: BC/DC = AB/AC = k.
Рассмотрим треугольники BAC и DAC. У них общая боковая сторона AC и соответственные углы при вершине A, поэтому эти треугольники подобны.
Из подобия треугольников BAC и DAC следует, что отношение длины стороны BC к длине стороны DC равно отношению длины стороны BA к длине стороны DA.
Обозначим это отношение через m: BC/DC = BA/DA = m.
Из равенства k = m следует, что отношение длины стороны AB к длине стороны AC равно отношению длины стороны BA к длине стороны DA.
Таким образом, у треугольников BAC и BAD соответственные стороны пропорциональны.
Из этого следует, что углы BAC и DAC равны (по свойству пропорциональности углов).
Таким образом, мы доказали, что углы BAC и DAC равны, что означает, что четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность.