Пусть M – середина отрезка CD. Так как AO_BO=2:1, то около точки O существует гомотетия с коэффициентом k=2, которая отображает треугольник AOB в треугольник A’OB’ так, что AA’:AO=BB’:BO=2:1. При этом точка A’ лежит на продолжении отрезка OB за точку O, а точка B’ лежит на продолжении отрезка AO за точку O.
Аналогично, так как CO_OD=2:1, около точки O существует гомотетия с коэффициентом k=2, которая отображает треугольник COD в треугольник C’OD’ так, что CC’:CO=DD’:OD=2:1. При этом точка C’ лежит на продолжении отрезка OD за точку O, а точка D’ лежит на продолжении отрезка OC за точку O.
Заметим, что треугольник AOB подобен треугольнику COD по стороне-стороне, так как AO_CO=BO:DO=2:1 и угол O равен О.
Также, треугольник A’O’B’ подобен треугольнику C’O’D’ по стороне-стороне, так как A’O:C’O=2:1 и угол O равен О.
Из подобия треугольников AOB и COD и подобия треугольников A’O’B’ и C’O’D’ следует, что треугольники A’O’D’ и C’O’B’ равны (по теореме о равенстве треугольников, если две их стороны пропорциональны по отношению, противоположно пропорциональные стороны).
Так как A’O’D’ и C’O’B’ – треугольники, подобные треугольникам AOD и COB, соответственно, то треугольник AOD равен треугольнику COB по двум сторонам и углу.
