Шаг 1: Найдем радиус р внутренней окружности сектора (развертки боковой поверхности конуса).
Площадь сектора S равна половине произведения радиуса р на длину дуги l:
S = (1/2) * р * l.
Так как угол сектора θ равен 120°, а длина окружности C равна 2π, то длина дуги l равна 2π * (θ/360) = 2π * (120/360) = π/3.
Подставим значения в формулу и решим уравнение относительно р:
75π = (1/2) * р * (π/3).
Упростим уравнение, сократив π:
75 = (1/2) * р * (1/3).
Умножим обе части уравнения на 6:
450 = р,
Таким образом, радиус р равен 450.
Шаг 2: Найдем образующую конуса l (высоту) с использованием теоремы Пифагора.
Образующая l, радиус р и гипотенуза h треугольника, образуемого образующей, радиусом и образующей сектора развертки, образуют прямоугольный треугольник.
Гипотенуза h равна радиусу р, а катеты равны образующей l и половине окружности длиной l.
По теореме Пифагора получим:
р² = l² + (l/2)².
Раскроем скобки:
р² = l² + (l²/4).
Упростим уравнение, умножив все части на 4:
4р² = 4l² + l².
Соберем подобные члены:
4р² = 5l².
Делим обе части уравнения на 5:
(4р²)/5 = l².
Извлекаем квадратный корень:
l = √((4р²)/5).
Подставим значение радиуса р = 450:
l = √((4 * 450²)/5) = √(4 * 90²) = √(4 * 8100) = √32400 = 180.
Таким образом, образующая l равна 180.
Шаг 3: Найдем объем конуса V с использованием формулы:
V = (1/3) * π * р² * l.
Подставим значения радиуса р = 450 и образующей l = 180:
V = (1/3) * π * (450)² * 180.
Упростим выражение:
V = (1/3) * π * 202,500 * 180 = 60,750,000π.
Таким образом, объем конуса равен 60,750,000π.