На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Обозначим точку пересечения прямых B₁D₁ и С₁С как E. Поскольку С₁ и D₁ лежат на одной плоскости, прямые B₁D₁ и С₁С перпендикулярны этой плоскости. Таким образом, отрезок BE является высотой треугольника B₁EC₁, а отрезок DE – апофемой основания B₁C₁.
Чтобы найти расстояние между прямыми B₁D₁ и С₁С, нам нужно найти длину отрезка BE.
Обратимся к кубу ABCDA₁B₁C₁D₁. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые B₁D₁ и С₁С. Поскольку B₁C₁ и B₁D₁ – диагонали граней куба, они образуют две смежные грани. Таким образом, плоскость, проходящая через эти две прямые, является диагональной плоскостью грани куба. Давайте обозначим точку пересечения прямых B₁D₁ и С₁С в этой диагональной плоскости как E’.
Теперь мы можем обнаружить, что треугольник B₁E’C₁ является правильным треугольником, поскольку AB₁ = BC₁ и BE’ = E’C₁, так как они являются сторонами куба. Также из прямоугольного треугольника B₁EB следует, что BE = B₁E’ / 2.
Теперь рассмотрим треугольник B₁EC₁. Он составлен из B₁E, EС₁ и B₁C₁. Верно, что B₁C₁ = b, поскольку она является стороной куба. Кроме того, B₁C₁ = B₁E’ + E’C₁ = 2BE + E’C₁, поскольку треугольник B₁E’C₁ является правильным.
Таким образом, у нас есть уравнение:
b = 2BE + E’C₁
Мы знаем, что BE = B₁E’ / 2, поэтому мы можем заменить его в уравнении, получив:
b = B₁E’ + E’C₁ / 2
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
2b = B₁E’ + E’C₁
Теперь вернемся к треугольнику B₁E’C₁. Так как это равносторонний треугольник, мы можем заметить, что у каждого угла этого треугольника 60 градусов (180 градусов, разделенных на три равных угла).
Теперь рассмотрим высоту этого треугольника E’F. Это разделит треугольник на два равных проекции B₁F и C₁F. Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника B₁EF и C₁EF.
В прямоугольных треугольниках B₁EF и C₁EF мы знаем, что EF = b / 2 и между B₁F и C₁F угол равен 60 градусов. Следовательно, мы можем применить формулу синусов, чтобы найти длину E’F:
sin(60°) = EF / E’F
√3/2 = b/2 / E’F
E’F = b * 2 / √3
Теперь мы можем заменить E’F в уравнении 2b = B₁E’ + E’C₁ :
2b = B₁E’ + (b * 2 / √3)
Теперь мы можем найти B₁E’, выразив его из этого уравнения:
B₁E’ = 2b – b * 2 / √3
Выполняя простые вычисления, мы получим:
B₁E’ = 2b (1 – 1 / √3)
Теперь мы можем найти значением BE, подставив B₁E’ в соотношение BE = B₁E’ / 2:
BE = 2b (1 – 1 / √3) / 2
BE = b (1 – 1 / √3)
Итак, расстояние между прямыми B₁D₁ и С₁С равно BE = b (1 – 1 / √3).
