Для решения задачи мы можем воспользоваться свойствами подобных фигур, а именно трапеций.
Пусть большее основание трапеции равно 2х, а меньшее основание равно х. Таким образом, высота этой трапеции равна 18 см.
Мы знаем, что точка пересечения диагоналей трапеции делит их в соотношении 1:1. Поэтому, длина каждой диагонали равна половине суммы оснований: D₁ = (2х + х)/2 = 1.5х.
По условию, проведенная через эту точку прямая параллельна большему основанию трапеции. Пусть она пересекает меньшее основание в точке А, а большее основание в точке В. Также, пусть высота полученной трапеции будет равна H.
Так как прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, параллельна большему основанию, то получаем подобие трапеции и меньшей трапеции. То есть, отношение длин оснований будет равно отношению высот: х/(2х) = H/18.
Учитывая, что высота меньшей трапеции меньше высоты большей на целое число, записываем это как H = 18 – k, где k – целое.
Теперь мы имеем два уравнения:
1) х/(2х) = H/18,
2) H = 18 – k.
Первое уравнение можно упростить, сократив х:
1/2 = H/18.
Подставляя второе уравнение в первое, получаем:
1/2 = (18 – k)/18,
18 – k = 9,
k = 9.
Таким образом, мы нашли, что высота меньшей трапеции, H = 18 – k, равна 18 – 9 = 9 см, а высота большей трапеции также будет равна 18 см.