Обозначим через D точку пересечения биссектрисы BE с гипотенузой AC и через E точку пересечения биссектрисы BE с высотой CF.
Поскольку треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длины сторон:
AB/BC = sin(90°)/sin(30°) = 2/1
Так как биссектриса BE делит угол А на два равных угла, то AB/BD = AC/CD. Поскольку AB/BD = 2, мы можем сказать, что AC/CD = 2.
Теперь рассмотрим треугольникы АСЕ и ВСЕ. Они имеют общую высоту CF и основания AC и BC соответственно, поэтому отношение их площадей равно отношению длин их оснований:
Площадь(ЕСЦ)/Площадь(АБЦ) = CE/AC = CE/(CD + DA)
Так как AC/CD = 2, то CE/(CD + DA) = CE/(2CD + CD) = CE/3CD
Рассмотрим треугольник BED. Он равнобедренный, так как угол А = углу АЕD и угол ВЕД = углу ДЕB. Из равенства углов следует, что угол EDB также равен углу А. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол БДЕ = 180° – угол А – угол А = 120°. Таким образом, треугольник BED равносторонний.
Поскольку BE является биссектрисой угла Б, то угол БЕД равен углу БЕС. То есть, угол БЕС = 60°.
Таким образом, в треугольнике ECD мы имеем два равных угла (угол Е равен углу БЕС, угол ЕDС равен углу БЕД) и угол БЕС = 60°. Значит, треугольник ECD также равносторонний.
Отсюда следует, что CD = CE.
Теперь мы можем сказать, что Площадь(ЕСЦ)/Площадь(АБЦ) = CE/3CD = CE/3CE = 1/3
Отношение площадей треугольников ЕСЦ и АБЦ равно 1/3.