Реши задачу В равнобедренной трапеции ABCD В равнобедренной трапеции ABCD (AD – большее основание) угол при основании равен 60°. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции MBCN равна 15, М и N – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции АBCD.(AD – большее основание) угол при основании равен 60°. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции MBCN равна 15, М и N – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции АBCD.

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойствами вписанной окружности и трапеции.

Шаги решения:

1. Обозначим точку M как точку касания окружности с боковой стороной AB, а точку N – с боковой стороной CD. Так как трапеция является равнобедренной, то она имеет две пары равных сторон, следовательно, AM = BN и DM = CN.

2. Обозначим радиус вписанной окружности как r. Так как OM – радиус окружности, а ОМ ⊥ АВ (по касательной к окружности), то треугольник ОМБ – прямоугольный, и мы можем использовать тригонометрические соотношения для выражения длины AM через r.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМВ. Так как угол при вершине B равен 60°, то угол ОМВ также равен 60°. Зная, что ОМ = r и ОВ = AB/2, мы можем применить тригонометрическую функцию косинуса, чтобы найти длину AM: AM = ОМ * cos(60°) = r * (1/2).

4. Аналогичным образом рассмотрим прямоугольный треугольник ОНС, где ДС/2 = r и угол при вершине C также равен 60°. Снова, применяя тригонометрическую функцию косинуса, найдем длину CN: CN = DS/2 * cos(60°) = r * (1/2).

5. Теперь мы можем вычислить площадь трапеции ABCD. Обозначим основания трапеции как a (большее основание) и b (меньшее основание), а высоту как h. Используя свойство площади трапеции (S = (a + b) * h / 2), подставим известные значения в данную формулу. Из условия задачи известно, что площадь трапеции MBCN равна 15, поэтому (AM + CN) * h / 2 = 15.

6. Подставим выражения для AM и CN, найденные в шагах 3 и 4, в формулу площади трапеции: ((r * (1/2)) + (r * (1/2))) * h / 2 = 15.

7. Упростим выражение: (r + r) * h / 2 = 15; r * h = 15.

8. Так как площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников AMD и BNC (S(ABCD) = S(AMD) + S(BNC)), можем записать (a + b) * h / 2 = AM * DM + BN * CN = ((2r) * (2r)) = 4r^2.

9. Подставим значение r * h, полученное в шаге 7, в формулу: (a + b) * h / 2 = 4r^2.

10. Таким образом, мы получили систему уравнений: r * h = 15 и (a + b) * h / 2 = 4r^2.

11. Решим эту систему уравнений для переменных a, b и h, подставляя значение r * h из первого уравнения во второе:
(a + b) * h / 2 = 4(r * h)^2 / 2;
(a + b) * h = 8r^2h^2;
(a + b) = 8r^2h;
a = (8r^2h – b).

12. Подставляем это значение a в первое уравнение системы и решаем его относительно переменной b:
(8r^2h – b + b) * h = 15;
8r^2h^2 = 15.

13. Подставляем найденные значения переменных в формулу площади трапеции: S(ABCD) = (a + b) * h / 2 = (8r^2h + b) * h / 2 = (8r^2h * h + b * h) / 2 = 8r^2h^2 + b * h / 2 = 15 + 15 / 2 = 15 + 7.5 = 22.5.

14. Ответ: площадь трапеции ABCD равна 22.5.