Пусть точка F – середина стороны BC. Поскольку E – середина стороны CD и F – середина стороны BC, то отрезки DE и BF делят диагональ AC пополам. Таким образом, DE || BF и DE = BF.
Из условия задачи известно, что АК:EK = 3:5. Поэтому можно предположить, что DE = 3x и BF = 5x, где x – некоторое положительное число.
Поскольку DE || BF и DE = 3x, то длина отрезка AC равна 8x (так как AC = DE + EF + FC = 3x + BF + 3x = 8x).
Теперь рассмотрим трапецию ABCD. Мы знаем, что AB || CD, и т.к. E – середина стороны CD, то AE = 1/2 AC. Следовательно, AE = 4x.
Отрезок АК можем разделить на два отрезка, АК = AE + EK = 4x + 4x = 8x. Значит, AK = 8x.
Теперь можем найти отношение оснований трапеции. Оно будет равно:
AB : CD = AK : DC.
Исходя из того, что АК = 8x, DC = AC – AK = 8x, AB = AC – BC = (8x – 5x) = 3x.
Таким образом, отношение оснований трапеции равно:
AB : CD = 3x : 8x = 3 : 8.
Ответ: отношение оснований трапеции AB : CD = 3 : 8.