Предположим, что треугольник ABC не является прямоугольным. Тогда все его углы являются острыми.
Пусть M – середина стороны AC, N – середина стороны BC. По условию, точка M равноудалена от A и C, а точка N равноудалена от B и C.
Так как AM = CM и BN = NC, то мы можем построить окружности с центром в точках M и N, проходящие через точки A, B и C.
Обозначим центры этих окружностей (точки M и N) и радиусы (AM = MC = r и BN = NC = s). Также обозначим точки пересечения окружностей P и Q, как показано на рисунке:
A
|
M
/
r / r
/
/ x
/ P | Q
/_______
B s C
Так как треугольники ABC и AQC подобны (по стороне-уголу-стороне), то угол BAC равен углу ACQ, и поэтому угол ACQ тоже является острым углом.
Также, поскольку радиусы AM и BN равны, то треугольники CBN и AMC подобны (по принципу равных треугольников). Следовательно, угол CBN равен углу AMC, и угол AMC также является острым углом.
Теперь рассмотрим треугольник QAN. Угол QAN равен сумме углов ACQ и AMC, то есть острому углу BAC. Значит, треугольник QAN также остроугольный.
Так как у треугольника QAN есть острый угол, то точка N лежит внутри треугольника QAN. Но мы уже знаем, что точка N равноудалена от B и C и поэтому лежит на биссектрисе угла BAC.
Так как треугольник QAN остроугольный, то биссектриса угла BAC пересекает сторону AC внутри треугольника. Но точка M также лежит на этой биссектрисе, а значит, точки M и N совпадают.
Т.е. M = N. Но это противоречит условию задачи, где сказано, что точка M равноудалена от A и C, а точка N равноудалена от B и C.
Таким образом, мы пришли к противоречию. Наше предположение о том, что треугольник ABC не является прямоугольным, было неверным.
Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.