Пусть точка М – середина стороны АВ, а точка К – точка пересечения перпендикуляра с стороной ВС. Так как треугольник АВС равнобедренный, то АМ – средняя линия, и она равна половине основания АС.
Обозначим МК = х см. Тогда ВК = МК, так как перпендикуляр спускается на середину стороны.
Также ВК = ВС – КС, следовательно, ВС – КС = х.
Вспомним, что периметр треугольника АКС равен 3 см. Значит АК + КС + СХ = 3.
Так как АМ делит сторону АВ пополам, то АК = МК + МА = х + 1 см.
Подставив значения в уравнение периметра, получим: х + 1 + КС + СХ = 3.
Также вспоминаем, что ВС – КС = х. И тогда ВС = х + КС.
Получается:
х + 1 + х + СХ = 3,
х + х + СХ – 2 = 0,
2х + СХ – 2 = 0.
Так как перпендикуляр является серединным перпендикуляром, то он проходит через середину стороны ВС. Значит, СХ = ВС/2.
Подставим это в уравнение: 2х + ВС/2 – 2 = 0.
Для удобства, домножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
4х + ВС – 4 = 0.
Также заметим, что ВС = х + КС. Подставим это:
4х + х + КС – 4 = 0.
Теперь заменим ВС – КС на х:
5х – 4 = 0.
Решим уравнение:
5х = 4,
х = 4/5.
Таким образом, ВС = х + КС = 4/5 + 4/5 = 8/5.
Основание АС равно двойному значению ВС, так как АМ делит сторону АВ пополам. Получаем:
АС = 2 * (8/5) = 16/5 см.
Итак, АС = 16/5 см.