Заметим, что sin² a + cos² a = 1, так как это тождество двойственности тригонометрической функции синуса и косинуса.
Поэтому задачу можно свести к нахождению значения выражения 1 + ctg² a.
Так как ctg a = 1/tan a, мы можем использовать известное тождество: tan² a + 1 = sec² a. Перенесем 1 на другую сторону и представим ctg² a как 1/tan² a:
1 + ctg² a = 1 + 1/tan² a.
Теперь заметим, что 1 + 1/tan² a = (tan² a + 1)/tan² a = sec² a/tan² a.
Используя тождество sec a = 1/cos a и tan a = sin a/cos a, мы можем записать sec² a/tan² a в новой форме:
(sec a/tan a)² = (1/cos a)² / (sin a / cos a)² = (1/cos a)² / (sin² a / cos² a).
Упрощая это выражение, получаем:
(1/cos a)² * (cos² a / sin² a) = cos² a / sin² a.
Осталось заметить, что cos² a / sin² a = (cos a / sin a)² = cot² a.
Итак, мы получили, что sin² a + cos² a + ctg² a = 1 + ctg² a = cot² a.
Таким образом, оригинальное выражение равно cot² a.