Для решения задачи нужно определить количество плоскостей, параллельных прямой D1D, используя свойства геометрии.
Шаги решения:
1. Построим и визуализируем куб ABCDA1B1C1D1. Заметим, что прямая D1D перпендикулярна плоскости ABCD и параллельна оставшимся плоскостям куба.
2. Вершины куба можно разделить на две группы: одна группа содержит вершины ABCD, а другая группа содержит вершины A1B1C1D1.
3. Заметим, что каждая плоскость, параллельная прямой D1D, будет содержать по одной вершине из каждой группы (например, A и A1, B и B1 и т.д.).
4. Таким образом, чтобы найти количество плоскостей, параллельных прямой D1D, нужно найти количество способов выбрать по одной вершине из каждой группы.
5. В группе вершин ABCD есть 4 вершины, а в группе вершин A1B1C1D1 также 4 вершины. Поэтому число комбинаций выбрать по одной вершине из каждой группы равно 4 * 4 = 16.
6. Ответ: Существует 16 плоскостей, параллельных прямой D1D.
Таким образом, число плоскостей, заданных вершинами куба ABCDA1B1C1D1, параллельных прямой D1D, равно 16.