На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Уравнение окружности задано в виде (x+2)² + (y-3)² = 25. Для того чтобы найти уравнение касательной, мы должны сначала найти координаты точки касания. Для этого найдем производные функций x и y по переменной t (предполагая, что x и y являются функциями t):
(x+2)² + (y-3)² = 25
Дифференцируем обе части уравнения по t:
2(x+2)(dx/dt) + 2(y-3)(dy/dt) = 0
Продолжим находить производные dx/dt и dy/dt. В данной ситуации необходимо использовать правило дифференцирования сложных функций.
Для точки касания угол между радиусом, проведенным в точку касания и касательной, будет прямым углом. Поэтому произведение наклона радиуса и наклона касательной будет равно -1.
Первая производная dx/dt:
2(x+2)(dx/dt) = -2(y-3)(dy/dt) -> dx/dt = -(y-3)(dy/dt) / (x+2)
Вторая производная dy/dt:
dy/dt = (x+2)(dx/dt) / (y-3)
Подставим координаты точки a (-5;7) в уравнение окружности:
(-5+2)² + (7-3)² = 25
9 + 16 = 25
25 = 25
Точка a принадлежит окружности.
Рассчитаем наклон касательной в точке a, подставив x = -5 и y = 7 в производные:
dx/dt = -(7-3)(dy/dt) / (-5+2)
dx/dt = -4(dy/dt) / -3
dx/dt = 4/3 dy/dt
dy/dt = (-5+2)(dx/dt) / (7-3)
dy/dt = -3(dx/dt) / 4
dy/dt = -3/4 dx/dt
Теперь установим равенство произведений:
(4/3)dy/dt * (-3/4)dx/dt = -1
(-12/12)dx/dt * (12/12)dy/dt = -1
dx/dt * dy/dt = -1
Таким образом, наклоны радиуса и касательной в точке касания должны быть противоположными числами с обратными знаками. Найденное уравнение касательной в точке a имеет вид dx/dt * dy/dt = -1, или dy/dt = -1 / dx/dt.
Теперь можем записать окончательное уравнение касательной в точке a:
dy/dx = -1 / dx/dt
Зная значение координат и производных, можем подставить данные в уравнение касательной.
