Пусть высота треугольника AMD равна h. Тогда средняя линия трапеции ABCD будет равна 1,6h.
Площадь треугольника AMD можно выразить как половину произведения длины основания BC на высоту, проведенную из вершины M: S_AMD = (1/2) * BC * h.
Мы также знаем, что длина высоты, проведенной из вершины M, равна длине отрезка KP, где K и P – середины сторон AM и MD соответственно. Так как K и P – середины сторон, то KP – это половина суммы длин сторон AM и MD: KP = (AM + MD) / 2.
Мы знаем, что BC, меньшее основание трапеции, равно 3, а сумма оснований AB и CD равна 2BC, то есть AB + CD = 6.
Теперь можем выразить AM и MD, используя их отношение к основаниям трапеции:
AM = (AB + CD) * (1/3) = 2,
MD = (AB + CD) * (2/3) = 4.
Так как K и P – середины сторон AM и MD соответственно, то KP = (AM + MD) / 2 = 3.
Таким образом, у нас есть два уравнения:
1) KP = 3,
2) S_AMD = (1/2) * BC * h.
Мы также знаем, что средняя линия трапеции в 1,6 раза больше высоты треугольника AMD, то есть 1,6h = KP.
Подставим значение KP из уравнения (1) в уравнение (2):
S_AMD = (1/2) * BC * (1,6h) = (1/2) * 3 * (1,6h) = 2,4h^2.
Так как нам нужно найти значение площади треугольника AMD, то подставим KP = 3 в уравнение 1,6h = KP и найдем h:
1,6h = 3,
h = 3 / 1,6 = 1,875.
Теперь подставим найденное значение h в уравнение для площади треугольника AMD и найдем ее:
S_AMD = 2,4h^2 = 2,4 * (1,875)^2 = 8,4 кв. ед. ответ.